二维变换和二维观察
齐次坐标
用n+1维向量表示n维向量
规范化齐次坐标：n+1维向量的最后一维是1
变换
平移变换
\begin{matrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
x变化量 & y变化量 & 1
\end{matrix}
\right]$$
#### 比例变换
- 缩放系数不相等
$$\left[
\begin{matrix}
x缩放系数 & 0 & 0\\
0 & y缩放系数 & 0\\
0& 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
- 等比例缩放
$$\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0& 0 & 缩放系数
\end{matrix}
\right]$$
#### 对称变换
- 关于x轴对称
$$\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
- 关于y轴对称
$$\left[
\begin{matrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
#### 旋转变换
- 绕原点逆时针旋转θ度
$$\left[
\begin{matrix}
cos\theta & sin\theta & 0\\
-sin\theta & cos\theta & 0\\
0& 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
- 绕原点顺时针旋转θ度
$$\left[
\begin{matrix}
cos\theta & -sin\theta & 0\\
sin\theta & cos\theta & 0\\
0& 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
#### 错切变换
- 沿x方向错切
$$\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0\\
x错切量 & 1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
- 沿y方向错切
$$\left[
\begin{matrix}
1 & y错切量 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
- 沿xy方向错切
$$\left[
\begin{matrix}
1 & b & 0\\
c & 1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
#### 复合变换
即变换矩阵相乘（注意顺序，因为矩阵乘法不满足交换律）
#### 多点变换齐次坐标
$$\left[
\begin{matrix}
x_1 & y_1 & 1\\
x_2 & y_2 & 1\\
... & ... & 1
\end{matrix}
\right]$$
#### 相对任意参考点的二维几何变换
1. 将参考点移到原点
2. 对原点进行二维变换
3. 将参考点反平移回原来位置
### 窗口和视区
世界坐标系的窗口与屏幕坐标系中的视区的映射
### 直线裁剪
#### Cohen-Sutherland裁剪算法
#### Liang-Barsky算法
1. 计算p和q值的值
$p_1=x_1-x_2$ $q_1=x_1-x_{left}$
$p_2=x_2-x_1$ $q_2=x_{right}-x_1$
$p_3=y_1-y_2$ $q_3=y_1-y_{bottom}$
$p_4=y_2-y_1$ $q_4=y_{top}-y_1$
2. 计算使用公式$u_k=\frac{q_k}{p_k}$，计算出各个u值
3. 根据$p_k$的符号将$u_k$两两分组
1. $p_k<0$组与0取最大
2. $p_k>0$组与1取最小
4. 得到两个u值分别带入直线参数方程即可得到裁剪后的结果
$$\begin{cases} x=x_1+u(x_2-x_1) \\ y=y_1+u(y_2-y_1) \end{cases}$$
### 多边形裁剪
#### Sutherland-Hodgeman算法
#### Weiler-Atherton算法
### 二维观察流程
1. 用户坐标系生成图形
2. 将用户坐标系下的图形描述变换到观察坐标系
3. 在观察坐标系下对窗口进行裁剪
4. 裁剪后进行窗口到视区的变换
5. 将视区中图形内容变换到设备坐标系中
## 三维变换和三违观察
### 变换
#### 平移变换
$$\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
x变化量 & y变化量 & z变化量 & 0
\end{matrix}
\right]$$
#### 比例变换
- 局部
$$\left[
\begin{matrix}
x缩放系数 & 0 & 0 & 0\\
0 & y缩放系数 & 0 & 0\\
0 & 0 & z缩放系数 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
- 整体
$$\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 缩放系数
\end{matrix}
\right]$$
#### 旋转变换
- z轴旋转变换
顺时针
$$\left[
\begin{matrix}
cos\theta & sin\theta & 0 & 0\\
-sin\theta & cos\theta & 0 & 0\\
0& 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}
\right]$$
逆时针
$$\left[
\begin{matrix}
cos\theta & -sin\theta & 0 & 0\\
sin\theta & cos\theta & 0 & 0\\
0& 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}
\right]$$
- x轴旋转变换
顺时针
$$\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & cos\theta & sin\theta & 0\\
0& -sin\theta & cos\theta & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}
\right]$$
逆时针
$$\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & cos\theta & -sin\theta & 0\\
0& sin\theta & cos\theta & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}
\right]$$
- y轴旋转变换
顺时针
$$\left[
\begin{matrix}
cos\theta & 0 & -sin\theta & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
sin\theta& 0 & cos\theta & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}
\right]$$
逆时针
$$\left[
\begin{matrix}
cos\theta & 0 & sin\theta & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
-sin\theta& 0 & cos\theta & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}
\right]$$
#### 对称变换
- xoy平面
$$\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
- yoz平面
$$\left[
\begin{matrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
- zox平面
$$\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
- x轴
$$\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
- y轴
$$\left[
\begin{matrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
- z轴
$$\left[
\begin{matrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
- 原点
$$\left[
\begin{matrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
#### 相对任意参考点的三维变换
1. 将参考点移到原点
2. 针对原点进行变换
3. 参考点反平移到原来位置
#### 参考任意轴的三维旋转变换
1. 将轴线段的一端移动到坐标原点
2. 将轴线段先旋转到坐标系平面上，再旋转到轴上
3. 进行绕轴旋转变换
4. 在将轴线段移动到原来位置
### 投影
#### 三视图
- 主视图（xoz）
$$\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
- 俯视图(xoy)：再绕x轴旋转负九十度，再z轴方向平移$z_0$距离
$$\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -z_0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
- 侧视图（yoz）：再绕z轴旋转负九十度，再x轴方向平移$x_0$距离
$$\left[
\begin{matrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
-x_0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]$$
#### 透视投影
- 一点透视:将三维物体平移到适当位置（l,m,n）,进行透视变换（d是视距），为了方便绘制，向xoy平面做正投影变换，将结果变换到xoy平面
$$\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{d}\\
l & m & 0 & 1+\frac{n}{d}
\end{matrix}
\right]$$
- 两点透视
- 三点透视
### 观察变换
#### 观察坐标系
$z_v$：视点（观察坐标系原点）与物体焦点的连线
$y_v$：向上方向
$x_v$：已知y和z轴后，根据右手定则得出
#### 变换
即求世界坐标系中点在观察坐标系中的坐标值
1. 将观察坐标系原点（视点）与世界坐标系移动重合，再经过旋转，使得两坐标系重合
2. 无需逆过程移回去，此变换矩阵就是点在观察坐标系的坐标的变换矩阵
### 三维观察流程
1. 在用户坐标系生成图形
2. 将用户坐标系下的图形描述变换到观察坐标系
3. 根据要求在观察坐标系下进行规范化投影变换
4. 进行三维裁剪
5. 进行正投影，投影到观察平面
6. 将矩形窗口图形依据二维坐标重构二维图形，经过窗口到视区的变换
## 简单光照模型
- 环境光：$I_{环境光}=I_{环境光强度}K_{环境光反射系数}$
- 理想漫反射光：$I_{漫反射光}=I_{点光源强度}K_{漫反射系数}(L_{点光源向量}·N_{物体表面法向量})$
- 镜面反射光：$I_{镜面反射光}=I_{点光源强度}K_{镜面反射系数}(R_{镜面反射方向向量}·V_{视线方向向量})^{n_{镜面反射指数}}$
- 向量点积：$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
四舍五入：+0.5取整
#### DDA（数值微分法）
$k[0,1]$：x每次加一，增量是k
$k[1,+\infty]$：y每次加一，增量是-1
#### 中点画线法
直线的方程Ax+By+C=0,已知点P（X,Y）
解：将P带入直线方程
$k[0,1]$，第一个中点是x+1，y+0.5，即第一个中点带入直线得到A+0.5B（在直线上的点等于0，由于只需要判断符号，可以用两边同时乘2将小数消去）
- 小于0在直线下方，距上方的点近，取上方点：
- 下一个中点，在原来基础上x+1，y+1，增量是A+B
- 大于0在直线上方，距下方的点近，取下方点
- 下一个中点，在原来基础上x+1，增量是A
- 等于0在直线上，都行
$k[1,+\infty]$，第一个中点是x+0.5，y+1，即第一个中点带入直线得到0.5A+B（在直线上的点等于0，由于只需要判断符号，可以用两边同时乘2将小数消去）
- 小于0在直线下方，距左面的点近，取左面点：
- 下一个中点，在原来基础上y+1，增量是B
- 大于0在直线上方，距右面的点近，取右面点
- 下一个中点，在原来基础上x+1，y+1，增量是A+B
- 等于0在直线上，都行
```flow
start=>start: 开始
input=>inputoutput: 输入两点坐标
init=>operation: 得到dx,dy,e=-dx,x=x1,y=y1
draw=>operation: 绘制坐标(x,y)
judge=>condition: 更新e=e+2dy/e+2dx/e-2dy/e-2dx,判断e>0
egt0=>operation: (x,y)更新为(x+1,y+1)/(x+1,y+1)/(x+1,y-1)/(x-1,y+1),e=e-2dx/e=e-2dy/e=e-2dx/e=e-2dy
elte0=>operation: (x,y)更新为(x+1,y)/(x,y+1)/(x+1,y)/(x,y+1)
isdraw=>condition: 是否绘制完毕
end=>end: 结束
start->input->init->draw->isdraw
isdraw(yes)->end
isdraw(no)->judge
judge(yes)->egt0->draw
judge(no)->elte0->draw
```
Comments NOTHING